Аннотация
Рассмотрен закон Хаббла для больших и малых расстояний. Указано, что разбегание галактик не может быть интерпретировано как увеличение масштаба. Показано, что зависимость постоянной Хаббла от времени должна иметь более сложный характер, нежели было принято считать ранее. Учет кривизны пространства ведет к изменению закона Хаббла и к нарушению однородности пространства. Движение галактик со скоростями, близкими к скорости света, тоже должно вести к изменению закона Хаббла. С помощью теории графов показано, что на закон Хаббла не влияет изменение топологии, показано также, что на данный закон не влияют форма объема и размерность пространства, от которых в сильной степени зависит энергия Казимира, что означает, что регуляризация энергии космологического вакуума, обусловливающего закон Хаббла, имеет нетривиальный характер. Исследовано дифференциальное уравнение движения Туманности Андромеды относительно Млечного пути в модели Глиннера и в приближении точечных галактик. Показано, что в виду вращения Туманности Андромеды вокруг Млечного пути закон Хаббла не может выполняться даже с учетом поправки для силы притяжения в общей теории относительности.
Ключевые слова: преобразования Галилея, эйлерова характеристика, однородность Вселенной, сила Хаббла, модель Фридмана
Abstract
Hubble's law for large and small distances is considered. It is indicated that the scattering of galaxies cannot be interpreted as an increase in scale. It is shown that the dependence of the Hubble constant on time should be more complex than previously thought. Taking into account the curvature of space leads to a change in Hubble's law and to a violation of the uniformity of space. The movement of galaxies at speeds close to the speed of light should also lead to a change in Hubble's law. Using graph theory, it is shown that Hubble's law is not affected by a change in topology, it is also shown that this law is not affected by the shape of the volume and the dimension of space, on which the Casimir energy strongly depends, which means that the regularization of the energy of the cosmological vacuum that determines Hubble's law is non-trivial. The differential equation of motion of the Andromeda Nebula relative to the Milky Way is investigated in the Glinner model and in the approximation of point galaxies. It is shown that in view of the rotation of the Andromeda Nebula around the Milky Way, Hubble's law cannot be fulfilled even taking into account the correction for the force of attraction in general relativity.
Keywords: Galileo transformations, Eulerian characteristic, uniformity of the universe, Hubble force, Friedman model
Введение
Закон Слайфера – Эддингтона – Леметра – Хаббла устанавливает, что скорость движения галактик от Солнечной системы пропорциональна расстоянию до них [1]. Обратная постоянная Хаббла соответствует возрасту Вселенной [2].
Предполагают, что примерно 5 млрд. лет назад расширение Вселенной начало ускоряться [3]. Из закон Хаббла v = Hr получим: r = r0 exp(Ht), ускорение: a = H2 r = r0H4 exp(Ht), то есть, ускорение расширения вытекает из закона Хаббла. Дополнительное ускорение связано с увеличением постоянной H. Считается, что причиной ускорения расширения является темная материя. Поправки к постоянной Хаббла с учетом плотности темной материи получены в модели ΛCDM в [4]. Подтверждение увеличения постоянной Хаббла обнаружено наблюдениями за нейтронными звездами [5].
Галактики обладают также собственными (пекулярными) скоростями, которые могут составлять несколько сотен км/с, галактики в массивных скоплениях более 1000 км/с [6]. Для галактик, находящихся на расстоянии ближе 0,3-4,5 Мпк, закон Хаббла плохо выполняется или не выполняется.
Расширение Вселенной существенно отличается от расширения газа в пустоту, когда давление сохраняется. Аналогом однородного расширения Вселенной может служить расширение шара при нагреве, состоящего из множества кристалликов: с энергией межчастичного взаимодействия типа Ван-дер-Ваальса , с энергией Маделунга в ионных кристаллах с эмпирическими постоянными, ковалентных, металлических или с водородными связями - при слабом, медленном и однородном нагреве. Или, например, модель нагреваемого пудинга с изюмом, локально все изюминки удаляются друг от друга. Но такие модели 1) не могут быть сформированы из материала ранней Вселенной, 2) не соответствуют энергии связи во Вселенной и ее охлаждению, 3) противоречат закону Хаббла. Например: если каждый объект расширяющейся структуры движется с постоянной скоростью, то Н = Н(t) является убывающей гиперболической функцией: H = const/t = a/t. В противном случае нетрудно показать, что вместо закона Хаббла с экспоненциальной зависимостью расстояния от времени будут выполняться следующие соотношения: . Это означает, что в стадии радиационного доминирования и в пылевой стадии расширение происходило с постоянной скоростью. Однако, например, для пылевой стадии .
Согласно одной из интерпретаций скорости разбегания галактик не имеют отношения к обычным скоростям, а, как и красное смещение, являются проявлением увеличения масштаба. По той же интерпретации эффект Допплера не имеет отношения к красному смещению. Однако это противоречит не только истории открытия красного смещения, но и формальной логике. При расширении Вселенной связанные или близкие объекты не разбегаются, их взаимное притяжение пересиливает расширение. То есть, источник разбегания вполне сравним с механической силой, что соответствует модели Глиннера, в которой источником расталкивания галактик является отрицательная плотность космологического вакуума. Если же разбегание галактик есть увеличение масштаба, то расширяются и линейки, которыми проводятся измерения. Следовательно, расширение Вселенной не должно быть наблюдаемо. Во-вторых, если пространство связанных объектов не расширяется, а пространство между звездными скоплениями расширяется, это бы означало различие структуры пространства на малых и больших расстояниях.
А. Сэндидж полагает, что закон Хаббла действует даже внутри ячейки неоднородности, на расстояниях около 2 Мпк, в то время как переход к однородности Вселенной происходит на расстояниях в 150 раз больших.
Можно предполагать, что закон Хаббла, как и космологический принцип, выполняется приближенно. Отклонения от закона Хаббла - пекулярные движениями галактик, связанные с отклонениями от однородности и изотропии, обусловленные существованием групп, скоплений и сверхскоплений галактик. Однако пекулярные скорости галактик и их скоплений практически не зависят от расстояния, тогда как хаббловская скорость Hr возрастает с расстоянием, поэтому относительный вклад пекулярных скоростей в картину движений объектов в дальней Вселенной сравнительно невелик.
При изотропном расширении H является пространственной константой. Зависимость H от времени определяется дополнительными условиями. Расширение Вселенной во времени происходит существенно неравномерно, аналогично неким фазовым переходам. В зависимости от уравнения состояния вещества в стадии инфляции постоянная Хаббла , в стадии радиационного доминирования ( ) , в пылевой стадии ( ) , в стадии -доминирования .
Релятивистские скорости и удаленные объекты
Закон Хаббла соответствует космологическому принципу лишь для не релятивистских скоростей. Пусть v1 и r1 - векторы скорости удаления и расстояния от Земли некоторой произвольно выбранной галактики Эти же величины, измеренные в системе отсчета, связанной с галактикой 2, обозначим и . Обозначим v2 - вектор скорости галактики 2, r2 - ее радиус-вектор относительно нашей галактики. Векторы скоростей и расстояний связаны между собой преобразованиями Галилея: . Согласно закону Хаббла , тогда . Очевидно, что при релятивистских скоростях закон Хаббла противоречит однородности и изотропии Вселенной.
В модели Фридмана постоянная Хаббла зависит от времени (a(t) – масштабный фактор). Для не слишком удаленных объектов красное смещение [7], соответственно, закон Хаббла . То есть, для удаленных объектов связь должна иметь иной вид.
Обобщенный закон Хаббла в реляционном подходе с предгеометрией [8] не меняет картину.
Форма, топология и размерность пространства
Согласно космологическому принципу любой наблюдатель в один и тот же момент времени, независимо от места и направления наблюдения, обнаруживает во Вселенной в среднем одну и ту же картину. Космологический принцип связывают с однородностью Вселенной.
Это не совсем корректно: космологический принцип – это нетривиальное утверждение о равноправности различных систем отсчета, который лишает Вселенную границ. Однородность же - это одна и та же плотность в различных точках наблюдаемой Вселенной.
Закон Хаббла не противоречит космологическому принципу. Рассмотрим какую-нибудь геометрическую фигуру, образованную несколькими галактиками. С течением времени эта фигура должна увеличиваться так, чтобы всегда оставаться подобной самой себе. В противном случае расстояния в одном направлении росли бы быстрее, чем в другом, что противоречило бы изотропии Вселенной. Поэтому за одно и то же время расстояние до каждой галактики должно возрастать в одно и то же число раз.
Рассмотрим одномерный случай. Пусть галактика 1 расположена в k раз дальше от нашей галактики, чем галактика 2. Поэтому 1 должна двигаться в k раз быстрее, чем 2. Т.е. скорость галактики должна быть пропорциональна расстоянию до неё, это и есть закон Хаббла.
Если эффект Казимира зависит о формы объема, от топологии, от размерности пространства [9], то расширение по закону Хаббла не зависит от топологии. Он выполняется и в модели Вселенной в виде тора, и в виде додекаэдра, и в модели куба.
Шар гомеоморфен кубу, его эйлерова характеристика равна эйлеровой характеристике куба . Но можно представить куб лишь как граф, без граней. Сфера же не имеет вершин и ребер. Представим многогранники как графы и выпишем их эйлеровы характеристики по мере увеличения числа вершин. Тетраэдр: ; пентаэдр: 5 – 8 или 6 – 9 = - 3; куб (гексаэдр): 8 – 12 = - 4; октаэдр: 6 – 12 = - 6; додекаэдр: 20 – 30 = - 10; икосаэдр: 12 – 30 = - 18. Т.к. для евклидовой сферы разбиений на правильные многоугольники всего 5, то дальнейшее увеличение числа вершин продолжим на плоскости Лобачевского, число разбиений для которой бесконечное счетное множество. Тогда при бесконечном увеличении числа вершин образуемый ими многогранник переходит в сферу, а эйлерова характеристика окаймляющего графа стремится к минус бесконечности.
Видим, что модели расширения Вселенной можно сравнить в терминах графов. При этом, чтобы Вселенная была однородной, графы, окаймляющие расширяющийся объем вселенной, могут иметь различную эйлерову характеристику.
Например, представим несколько рядов галактик, выстроенных на площади с интервалом 1 пс. Раздвинем за один год ряды по оси х так, чтобы этот интервал увеличился до 2 пс. Относительная скорость двух рядом стоявших рядов галактик будет равна 1 пс/год, а относительная скорость двух галактик, стоявших друг от друга на расстоянии 100 пс, будет 100 пс/год, если учесть, что расстояние между ними увеличится от 100 до 200 пс. Аналогично выполняется увеличение интервала по оси у. Тогда скорость взаимного удаления пропорциональна расстоянию, что соответствует закону Хаббла, после расширения рядов остается справедливым космологический принцип: галактики по-прежнему распределены равномерно, и сохраняются те же пропорции между различными взаимными расстояниями. То же будет справедливо для раздвижения и по оси z. Такого рода расширение имеет место при расширении куба.
Закон Хаббла не зависит и от размерности пространства. То же, что в одномерном случает, будет справедливо для поверхностной плотности вещества при расширении и двумерного круга, и для объемной плотности при расширении трехмерного шара. Таким образом, стандартная регуляризация энергии космологического вакуума, отрицательная плотность которой в модели Глиннера и расталкивает галактики, имеет нетривиальный характер.
Выделим во Вселенной точку и две сферы вокруг нее, радиуса R и 2R. Поскольку вселенная однородна, поверхностная плотность, допустим, звезд на этих сфера одинакова: , и .
Через время t звезды на первой сфере в виду расширения Вселенной достигнут второй сферы. Их поверхностная плотность, соответственно, уменьшится в 4 раза. Поскольку линейная плотность остается одинаковой, за это же время звезды второй сферы достигнут сферы радиуса 4R. Соответственно, их плотность уменьшится тоже в 4 раза.
То же самое можно проделать с объемной плотностью тонкого слоя на поверхности сферы, объем которого равен разности объемов двух конусов с близкими радиусами:
(1)
где , h – разность между радиусом сферы и высотой конуса, - плоский угол конуса. Объем слоя вблизи сферы меньшего радиуса, соответственно . Как мы условились, , с точностью до пренебрежимо малых величин ввиду нашего приближения и можем принять , следовательно, . Через время t звезды из первого объема займут второй объем, их плотность уменьшится в 8 раз, плотность звезд второго объема уменьшится тоже в 8 раз. Для более точного вычисления можно привлечь еще раз закон Хаббла и разложить экспоненту в ряд, оставив первые два члена , но вычисления останутся теми же. То есть, закон Хаббла для объемов соответствует однородности Вселенной.
Однако поскольку в выражении (1) фигурирует угол, который в неевклидовой геометрии меняется с радиусом, очевидно, что кривизна пространства должна нарушать однородность Вселенной, соответственно, чтобы сохранить однородность, необходимо изменить закон Хаббла. Кроме того, в СТО для выражения радиуса существует дополнительный множитель, который будет увеличивать радиус по мере удаления от точки отсчета:
,
Т.е., по мере удаления наблюдаемая плотность Вселенной должна уменьшаться. Поскольку этого не наблюдается, то в виду СТО постоянная Хаббла должна зависеть от расстояния.
Столкновение галактик
Расстояние от Туманности Андромеды до Млечного пути составляет 0,77 Мпк, то есть, по оценкам для Туманности Андромеды должен, хотя и с отклонениями, выполняться закон Хаббла, но его действие перевешивается гравитационным притяжением. Массы обеих галактик примерно совпадают и равны приблизительно 1012 солнечных масс.
Точная задача двух тел в случае силы, обратно пропорциональной квадрату радиуса, дает траектории трех типов: эллипс, парабола и гипербола, в зависимости от параметров (начальной скорости, начального расстояния и масс). Столкновение в задаче двух тел отсутствует. При учете разбегания галактик траектории типа падения спутника возникают лишь в случае, когда одна из масс много меньше другой. Столкновения других галактик происходит из-за их начальных скоростей, из-за того, что они следуют встречным курсом.
Будем решать задачу движения Млечного пути и туманности Андромеды в одномерном приближении, для качественной оценки. Уравнение движения сведется к уравнению для модуля радиуса (расстояния между галактиками) и с учетом «силы» Хаббла будет иметь вид
где m1 – масса нашей галактики, m2 – масса туманности Андромеды.
Компьютерное моделирование показывает, что данное уравнение имеет решение, соответствующее движению двух галактик навстречу друг другу с почти постоянной скоростью, что близко к экспериментальным данным.
При наличии тангенциальной составляющей скорости одной из галактик появляется дополнительный член с центробежным ускорением:
Сделаем уравнение безразмерным, введем и . Уравнение примет вид:
Допустим, что угловая скорость порядка 10-13, что соответствует оценкам угловой скорости в моделях Вселенной с вращением. Подставим значения:
(2)
Данное уравнение не имеет решений, содержащих уменьшение радиуса до нуля (т.е. до столкновения). Частным решением является параболическое увеличение радиуса со временем, семейство решений содержит выход на стационарный режим.
Известно, что движение туманности Андромеды относительно Млечного Пути имеет радиальную составляющую не более 110 км/с [10] и тангенциальную составляющую не более 100 км/с. То есть, максимальная угловая скорость Туманности Андромеды . При таком значении угловой скорости расстояние между галактиками будет уменьшаться до нуля по параболическому, близкому к прямой, закону (частное решение), семейство решений – семейство стационарных радиусов при . Но при больших R сближения галактик не может быть, т.к. в этом случае притяжением 1/R2 можно пренебречь в сравнении с центробежной силой. Таким образом, сближение галактик невозможно.
В ОТО при малых расстояниях между притягивающим центром и пробным телом исчезает существующий в классической кеплеровской задаче «центробежный барьер» M2/2mr2, M = mr2w , не позволяющий пробной частице упасть на притягивающий центр. Столкновение в задаче Кеплера оказывается возможным лишь при учете релятивистской добавки к силе тяготения Fadd ~ 1/r4 . Однако если подставить эту добавку в уравнение (2), можно видеть, что при больших R порядка расстояния между галактиками добавка тоже перестает играть роль, и сближение становится невозможным. Таким образом, закон Хаббла не действует и на больших расстояниях, и на малых. Следовательно, модель Фридмана, из которой следует закон Хаббла, на этих расстояниях не корректна.
Заключение
В период инфляции постоянная Хаббла была порядка 1036 – 1042 сек-1 . По окончании инфляции постоянная Хаббла резко уменьшилась до 10-18 сек-1 .
Согласно последним астрономическим наблюдениям 5 млрд. лет назад расширение Вселенной ускорилось, то есть постоянная Хаббла начала увеличиваться. Таким образом, постоянная Хаббла остается зависимой от времени.
Однако, как следует из вышеизложенного, постоянная Хаббла зависит также и от расстояния наблюдаемых объектов от Земли и от их скорости относительно Земли.
Как показывают последние данные телескопа «Уэбб» постоянная Хаббла зависит от направления во Вселенной, куда обращен телескоп (т.н. «напряжение Хаббла»). Данный феномен объясняется тем, что по разным направлениям телескоп рассматривает объекты, которые по-разному удалены от Земли и движутся с разной скоростью.
Литература
1. Way, M. J. Dismantling Hubble's Legacy? ASP Conference Proceedings. 2013. vol. 471. P. 97–132.
2. Aghanim N. et al. Planck Collaboration). Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. Astronomy and Astrophysics. 2020. vol. 641. P. A6-A72.
3. Блинников С.И., Долгов А.Д. Космологическое ускорение // УФН - РАН, 2019. Т. 189. С. 561-602. doi:10.3367/UFNr.2018.10.038469
4. Heneka, C.; Amendola, L. General modified gravity with 21cm intensity mapping: simulations and forecast. Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. 2018. vol. 85. P. 084032-084048.
5. Vitale, Salvatore; Chen, Hsin-Yu. Measuring the Hubble Constant with Neutron Star Black Hole Mergers. Physical Review Letters. 2018. vol. 121 (2). P. 021303-021308.
6. Sedgwick, Thomas M., Collins, Chris A., Baldry, Ivan K, James, Philip A. The effects of peculiar velocities in SN Ia environments on the local H0 measurement. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2020. vol. 500 (3). P. 3728–3742.
7. Горбунов Д. С., Рубаков Д. А. Введение в теорию ранней вселенной. М.: ЛКИ, 2008. 552 с.
8. Владимиров Ю. С., Молчанов А. Б. Обобщенный закон Хаббла в реляционном подходе // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. 2017. Вып. 2. С. 24-34.
9. Мостепаненко В. М., Трунов Н. Я. Эффект Казимира и его приложения // УФН. 1988 г. Ноябрь Том 156, вып. 3. С. 385-426.
10. Сангмо Т. С., Андерсон Д., Марел Р. Вектор скорости M31. I. Измерения собственного движения космического телескопа Хаббла // Астрофизический журнал. 2012. Т. 753 (1). С. 7-32.
Борис Ихлов